Среднее количество вершин в выпуклой оболочке¶
Алгоритм Джарвиса имеет сложность $O(X N)$, где $X$ — число вершин выпуклой оболочки, а $N$ — общее число точек. Чтобы оценить сложность этого алгоритма в среднем случае, необходимо вычислить $E(X)$ — математическое ожидание величины $X$. Для его анализа мы должны определить ограниченную область, из которой выбираются точки, так как они могут быть равномерно распределены лишь в множестве с конечной мерой Лебега [Kendall, Moran (1963)].
+ +Теорема 1 [Rényi, Sulanke (1963)]. Если $N$ точек выбираются равномерно и независимо из выпуклого $r$-угольника на плоскости, то при $N\to\infty$ математическое ожидание числа вершин выпуклой оболочки этих точек $E(X)=\frac23 r \, (\log N + \gamma) + O(1)$, где $\gamma$ - константа Эйлера.
+ +Теорема 2 [Raynaud (1970)]. Если $N$ точек выбираются равномерно и независимо из внутренности $k$-мерной гиперсферы, то при $N\to\infty$ математическое ожидание числа гиперграней выпуклой оболочки этих точек асимптотически стремится к $E(X) = O(N^{(k-1)/(k+1)})$
+ +Теорема 3 [Raynaud (1970)]. Если $N$ точек выбираются независимо в соответствии с $k$-мерным нормальным распределением, то при $N\to\infty$ математическое ожидание числа вершин выпуклой оболочки этих точек асимптотически стремится к $E(X) = O((\log N)^{(k-1)/2})$
+ +Теорема 4 [Bentley, Kung, Schkolnick, Thompson (1978)]. Если координаты $N$ точек в $k$-мерном пространстве выбраны независимо в соответствии с произвольным непрерывным распределением (возможно, для каждой координаты используется своё распределение), то математическое ожидание числа вершин выпуклой оболочки этих точек асимптотически стремится к $E(X) = O((\log N)^{k-1})$.
+ +-
+
- $E(X) = O(\log N)$ для $N$ точек, равномерно выбранных из выпуклого многоугольника +
- $E(X) = O(N^{1/3})$ для $N$ точек, равномерно выбранных из круга +
- $E(X) = O(N^{1/2})$ для $N$ точек, равномерно выбранных из сферы +
- $E(X) = O((\log N)^2)$ для $N$ точек, равномерно выбранных из куба +
- $E(X) = O(\sqrt{\log N})$ для $N$ точек, нормально распределённых на плоскости +
О выпуклой оболочке N случайно выбранных точек¶
+Пусть $P_i\:(i=1,\:2,\:\ldots,\:n)$ — точки на плоскости, выбранные случайно и независимо в соответствии с некоторым распределением, а $H_n$ - выпуклая оболочка этих точек, которая, как известно, является выпуклым многоугольником. Число $X_n$ вершин выпуклой оболочки — случайная величина, и в данной работе будет исследовано её математическое ожидание $E_n = E(X_n)$ при $n\to\infty$ в различных предположениях о распределении точек $P_i$.
+ +-
+
В $\S1$ рассмотрим случай, когда точки $P_i$ равномерно распределены внутри выпуклого $r$-угольника $K$. Как будет показано, $E_n = (2r\,/\,3)(\log n + \gamma) + T + O(1)$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера:
+$$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac1k - \log n \right)=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n - \log n \right) \notag$$
+При этом величина $T = T(K)$ зависит от многоугольника $K$.
+
+В $\S2$ докажем элементарную геометрическую теорему о том, что $T(K)$ принимает максимальные значения для многоугольников, которые аффинными преобразованиями можно привести к правильному $r$-угольнику, и только для них.
+
+В $\S3$ исследуем асимптотическое поведение $E_n$, когда точки $P_i$ равномерно распределены в выпуклой области с гладкой границей. Оказывается, что в таком случае $E_n$ имеет порядок $\sqrt[3]n$.
+
+Наконец, в $\S4$ мы докажем, что $E_n$ ведёт себя как $\sqrt{\log n}$, если точки $P_i$ имеют нормальное распределение.
+
+
1. Случайно выбранные точки в выпуклом многоугольнике¶
Утверждение 1. Если точки $P_i$ равномерно распределены внутри выпуклого $r$-угольника $K$, математическое ожидание числа вершин выпуклой оболочки $E_n = (2r\,/\,3)(\log n + \gamma) + T + O(1)$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
+ +Доказательство:
+$\triangleright$
+Пусть $K$ - выпуклый многоугольник с вершинами $A_1,\:A_2,\:\ldots,\:A_r$ и соответствующими углами $\vartheta_1,\:\vartheta_2,\:\ldots,\:\vartheta_r$. Обозначим за $a_k$ длину стороны $A_k A_{k+1}$, где $A_{r+1} = A_1$ $(k = 1,\:2,\:\ldots,\:r)$.
+ +
Пусть $\varepsilon_{ij} = 1$, если отрезок $P_i P_j$ при $i \neq j$ принадлежит границе выпуклой оболочки $H_n$, иначе $\varepsilon_{ij} = 0$. Тогда очевидно, что
+$$X_n = \sum_{1 \le i \lt j \le n}\varepsilon_{ij} \label{eq:1} \tag{1}$$
+В силу случайного распределения вероятность $W_n = P(\varepsilon_{ij} = 1)$ одинакова для всех пар $(i, j)$, таких, что $1 \le i \lt j \leq n$, и тогда
+$$E_n = E(X_n) = \sum_{1 \le i \lt j \le n} E(\varepsilon_{ij}) = \sum_{1 \le i \lt j \le n} \left( 0 \cdot (1 - W_n) + 1 \cdot W_n \right) = C_n^2 \cdot W_n \label{eq:2} \tag{2}$$
+ +Чтобы определить асимптотическое поведение $E_n$, достаточно вычислить вероятность $W_n$. Можем рассмотреть $W_n$ как вероятность того, что все точки $P_h \: (h = 3,\:4,\:\ldots,\:n)$ лежат по одну сторону от прямой $P_1 P_2$.
+
Пусть $F$ обозначает площадь $K$. Если через $F_1 \le \frac12 F$ и $F_2 = F - F_1$ обозначить части, на которые прямая $P_1 P_2$ делит область $K$, то получим
+$$W_n = \frac1{F^2} \int\limits_K \int\limits_K \left[ \left(1 - \frac{F_1}{F}\right)^{n-2} + \left(\frac{F_1}{F}\right)^{n-2}\right] dP_1 dP_2 \label{eq:3} \tag{3}$$
+как вероятность того, что все точки $P_i\:(i=3,\:4,\:\ldots,\:n)$ принадлежат только одной из частей $F$.
+ +Так как $F_1/F \le \frac12$, интеграл второго слагаемого ограничен константой:
+$$\frac1{F^2} \int\limits_K \int\limits_K \left(\frac{F_1}{F}\right)^{n-2} dP_1 dP_2 \le \frac1{2^{n - 2}} \label{eq:4} \tag{4}$$
+А следовательно,
+$$E_n \sim C_n^2 \cdot \frac1{F^2} \int\limits_K \int\limits_K \left(1 - \frac{F_1}{F}\right)^{n-2} dP_1 dP_2 \label{eq:5} \tag{5}$$
+$$\text{где} \: A \sim B \Leftrightarrow \lim_{n\to+\infty} \frac{A_n}{B_n} = 1 \notag$$
+ +Обозначим через $f_i$ площадь треугольника $A_{i-1}A_iA_{i+1}$ $(A_{r+j} = A_j)$, и пусть $f = \min\limits_{1 \le i \le r} f_i$
+
Очевидно, что при изучении асимптотического поведения $E_n$ можно ограничиться парами точек $(P_1,\:P_2)$, для которых прямая $P_1 P_2$ пересекается либо с двумя соседними сторонами $K$, либо с двумя сторонами $K$, разделёнными третьей стороной. Для всех остальных прямых выполняется ограничение
+$$1 - \frac{F_1}{F} \leqq 1 - \frac{f}{F} \notag$$
+ +Поэтому мы можем пренебречь соответствующей частью интеграла и записать
+$$E_n \sim C_n^2 \cdot \frac1{F^2} \left( \sum\limits_{i=1}^r (I_i + J_i) \right) \label{eq:6} \tag{6}$$
+$$I_i = \int\limits_{C_i} \left(1 - \frac{F_1}{F}\right)^{n-2} dP_1 dP_2 \label{eq:7} \tag{7}$$
+$$J_i = \int\limits_{D_i} \left(1 - \frac{F_1}{F}\right)^{n-2} dP_1 dP_2 \label{eq:8} \tag{8}$$
+Здесь $C_i$ означает множество пар точек $(P_1,\:P_2)$, для которых прямая $P_1P_2$ пересекает смежные стороны $A_{i-1}A_i$ и $A_iA_{i+1}$ многоугольника $K$, a $D_i$ - множество пар $(P_1,\:P_2)$, для которых прямая $P_1P_2$ пересекает стороны $A_{i-1}A_i$ и $A_{i+1}A_{i+2}$ многоугольника $K$, разделённые другой стороной.
+ +Сначала рассмотрим интеграл $I_i$. Обозначим через $G_{ab}$ множество пар $(P_1,\:P_2)$, для которых выполнены неравенства $\left|A_iQ_1\right| < a$ и $\left|A_iQ_2\right| < b$, где $Q_1$ - точка пересечения прямой $P_1P_2$ со стороной $A_{i-1}A_i$, а $Q_2$ - точка пересечения $P_1P_2$ со стороной $A_iA_{i+1}$. Здесь и далее $\left|AB\right|$ — длина отрезка $AB$.
+По элементарным расчётам получается
+$$\int\limits_{G_{ab}} dP_1dP_2 = \frac{a^2b^2\sin^2\vartheta_i}{12} \label{eq:9} \tag{9}$$
+Площадь треугольника $Q_1A_iQ_2$, отсекаемого прямой $P_1P_2$, равна $\frac{1}{2} a b \sin \vartheta_i$. Таким образом, взяв $a_{i-1} = \left|A_{i-1}A_i\right|$, $a_i = \left|A_iA_{i+1}\right|$, получаем
+$$I_i = \int\limits_0^{a_{i-1}} \int\limits_0^{a_i} \left(1 - \frac{ab \sin \vartheta_i}{2F}\right)^{n-2} \sin^2 \vartheta_i \frac{ab}{3} \,da\,db \label{eq:10} \tag{10}$$
+ +Выполним замену
+$$X = a \sqrt\frac{\sin \vartheta_i}{2F}, \; Y = b \sqrt\frac{\sin \vartheta_i}{2F} \label{eq:11} \tag{11}$$
+и получим
+$$I_i = \frac{4F^2}{3} \int\limits_0^{X_i} \int\limits_0^{Y_i} (1-XY)^{n-2} XY \: dX dY \label{eq:12} \tag{12}$$
+где
+$$X_i = a_{i-1} \sqrt\frac{\sin \vartheta_i}{2F}, \; Y_i = a_i \sqrt\frac{\sin \vartheta_i}{2F} \notag$$
+и также заметим, что
+$$\varrho_i = X_iY_i = \frac{a_{i-1}a_i\sin \vartheta_i}{2F} = \frac{f_i}{F} < 1 \label{eq:13} \tag{13}$$
+ +Теперь преобразуем интеграл:
+$$\int\limits_0^{X_i} \int\limits_0^{Y_i} (1-XY)^{n-2} XY \: dX dY = \int\limits_0^{X_i} \int\limits_0^{Y_i} (1-XY)^{n-2} \: dX dY - \int\limits_0^{X_i} \int\limits_0^{Y_i} (1-XY)^{n-1} \: dX dY \notag$$
+Далее применим
+$$\int\limits_0^{X_i} \int\limits_0^{Y_i} (1-XY)^{n-1} \: dX dY = \int\limits_0^{X_i} \frac{1 - (1 - XY_i)^n}{nX} \: dX = \\ = \frac1n \left( 1 + \frac12 + \ldots + \frac1n - \sum\limits_{k=1}^n \frac{(1-\varrho_i)^k}{k} \right) \notag$$
+ +Таким образом, мы получаем значение интеграла $I_i$:
+$$I_i = \frac{4F^2}{3} \left[ \frac{\cfrac12 + \cfrac13 + \ldots + \cfrac1n}{n(n-1)} - \frac{\sum\limits_{k=1}^{n-1} \cfrac{(1 - \varrho_i)^k}{k}}{n(n-1)} + \frac{(1-\varrho_i)^n}{n^2} \right] \label{eq:14} \tag{14}$$
+ +Если положим
+$$S_i = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(1 - \varrho_i)^k}{k} = \log \frac1{\varrho_i} \label{eq:15} \tag{15}$$
+то получим в конечном итоге
+$$E_n = \frac23 (\gamma - 1 + \log n) r - \frac23 \sum\limits_{i=1}^r S_i + o(1) + \frac{C_n^2}{F^2} \sum\limits_{i=1}^r J_i \label{eq:16} \tag{16}$$
+где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
+ +Теперь вычислим интеграл $J_i$. Продлим стороны $A_{i-1}A_i$ и $A_{i+1}A_{i+2}$ до точки их пересечения $A_i^*$; случай, когда эти стороны параллельны, можно рассматривать аналогично.
+Пусть снова $Q_1$ - точка пересечения прямой $P_1P_2$ со стороной $A_{i-1}A_i$, а $Q_2$ - точка пересечения $P_1P_2$ со стороной $A_{i+1}A_{i+2}$, и пусть
+$$a' = \left|A_iA_i^*\right|, \;\; b' = \left|A_{i+1}A_i^*\right|, \;\; a = \left|A_iQ_1\right|, \;\; b = \left|A_{i+1}Q_2\right| \notag$$
+$G_{ab}$ было определено выше.
+ +Получим из $(\ref{eq:9})$:
+$$\int\limits_{G_{ab}} dP_1 dP_2 = \frac{\sin^2\beta_i}{12} (a^2 + 2aa')(b^2 + 2bb') \label{eq:17} \tag{17}$$
+где $\beta_i$ - угол при $A_i^*$. Таким образом,
+$$J_i = \int\limits_{D_i} \left(1 - \frac{(ab+a'b+ab')\sin \beta_i}{2F} \right)^{n-2} \frac{\sin^2 \beta_i}{3} (a+a')(b+b')\,da\,db \label{eq:18} \tag{18}$$
+и этот интеграл асимптотически эквивалентен
+$$J_i \sim \int\limits_{D_i} \left(1 - \frac{(a'b+ab')\sin \beta_i}{2F} \right)^{n-2} \frac{\sin^2 \beta_i}{3} a'b'\,da\,db \label{eq:19} \tag{19}$$
+ +Далее сделаем замену
+$$a = \frac{F}{b' \sin \beta_i} X, \;\; b = \frac{F}{a' \sin \beta_i} Y \notag$$
+и найдём значение интеграла
+$$J_i \sim \frac{F^2}{3} \int\limits_0^{a_{i-1}'} \int\limits_0^{a_{i+1}'} \left( 1 - \frac{X+Y}{2} \right)^{n-2} dX\,dY = \\ = \frac{4F^2}{3n(n-1)} \left[ 1 - \left( 1 - \frac{a_{i-1}'}{2} \right)^n - \left( 1 - \frac{a_{i+1}'}{2} \right)^n + \left( 1 - \frac{a_{i-1}' + a_{i+1}'}{2} \right)^n \right] \notag$$
+где
+$$a_{i-1}' = \frac{a_ib'\sin\beta_i}{F}, \;\; a_{i+1}' = \frac{a_{i+2}a'\sin\beta_i}{F} \notag$$
+ +Таким образом, получаем итоговый результат:
+$$E_n = \frac{2r}{3} (\log n + \gamma) - \frac23 \sum\limits_{i=1}^{r} S_i + o(1) \notag$$
+$\triangleleft$
+ +Пусть $K$ - выпуклый многоугольник с $r$ сторонами. Математическое ожидание $E_n$ числа вершин выпуклой оболочки $H_n$, построенной на $n$ случайных точках из $K$, равно
+$$E_n = \frac{2r}{3} (\log n + \gamma) + \frac23 \log \frac{\prod\limits_1^r f_i}{F^r} + o(1) \label{eq:20} \tag{20}$$
+Здесь $F$ обозначает площадь многоугольника $K$, а $f_i$ - площадь треугольника $A_{i-1}A_iA_{i+1}$.
+ +Пусть, например, $K$ - треугольник, тогда $f_1 = f_2 = f_3 = F$ и
+$$E_n = 2(\log n + \gamma) + o(1) \label{eq:21} \tag{21}$$
+Заметим, что в таком случае формула для $E_n$ не зависит от формы треугольника, так как $E_n$, очевидно, должно быть инвариантно к аффинным преобразованиям. В $\S2$ мы покажем, что константа
+$$Z(K) = \frac{\prod\limits_{i=1}^r f_i}{F^r} \label{eq:22} \tag{22}$$
+которая зависит от формы многоугольника $K$ и появляется в выражении $(\ref{eq:20})$, становится максимальной для правильного $r$-угольника и аффинных к нему многоугольников.
+ +2. Экстремальная задача для выпуклых многоугольников¶
Прежде чем перейти к дальнейшим асимптотическим оценкам для $E_n$ при других предположениях о распределении точек $P_i$, докажем следующее утверждение:
+Утверждение 2. Пусть $K$ - выпуклый многоугольник с $r$ сторонами. Функция
+$$Z(K) = \frac1{F^r} \prod\limits_{i=1}^r f_i \label{eq:23} \tag{23}$$
+из предыдущего параграфа максимальна тогда и только тогда, когда $K$ можно преобразовать в правильный $r$-угольник аффинными преобразованиями.
+ +Доказательство:
+$\triangleright$
+Пусть $\alpha_i = \overrightarrow{A_{i-1}A_i}$, где $A_{r+i} = A_i$. Тогда
+$$f_i = \frac12 [\alpha_i, \: \alpha_{i+1}] \\ F = \frac12 \sum\limits_{i=1}^{r-2} [\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_i, \: \alpha_{i+1}] \label{eq:24} \tag{24}$$
+где $[\alpha, \: \beta]$ - модуль векторного произведения $\alpha$ и $\beta$. Функция $Z(K)$ теперь является функцией от $r$ векторов $\alpha_i \: (i=1, \: \ldots, \: r)$, удовлетворяющих условию замкнутости:
+$$\sum\limits_{i=1}^r \alpha_i = 0 \label{eq:25} \tag{25}$$
+ +Теперь допустим, что вершины $A_i$ многоугольника $K$ подвергаются достаточно малым смещениям, которые описываются непрерывно дифференцируемой функцией от параметра $t$. Так как многоугольник $K$, который должен соответствовать значению параметра $t = 0$, является выпуклым r-угольником, то многоугольники, являющиеся результатом достаточно малого изменения $t$, также будут выпуклыми r-угольниками. Функция $Z$, рассматриваемая как функция от $t$, должна достигать максимума при $t = 0$, если $K$ - максимальный многоугольник.
+ +Необходимое условие того, что многоугольник $K$ является максимальным, мы получаем из несложного расчёта:
+$$\sum\limits_{i=1}^r \frac{F}{f_i} ([\dot \alpha_i, \: \alpha_{i+1}] + [\alpha_i, \: \dot \alpha_{i+1}]) - \\ - r \sum\limits_{i=1}^{r-2}([\dot \alpha_1 + \ldots + \dot \alpha_i, \: \alpha_{i+1}] + [\alpha_1 + \ldots + \alpha_i, \: \dot \alpha_{i+1}]) = 0 \label{eq:26} \tag{26}$$
+Где $\dot \alpha_i = \left.\frac{d}{dt} \alpha_i \right|_{t=0}$ - произвольные векторы, которые тоже должны удовлетворять условию замкнутости, следующему из $(25)$:
+$$\sum\limits_{i=1}^r \dot\alpha_i = 0 \label{eq:27} \tag{27}$$
+ +Если мы положим последовательно
+$$\dot \alpha_j = \beta, \;\; \dot \alpha_{j+1} = -\beta, \;\; \dot \alpha_i = 0 \: \text{для} \: i \neq j, \;\; i \neq j+1 \label{eq:28} \tag{28}$$
+где $\beta$ - изначально произвольный вектор, то условие замкнутости $(\ref{eq:27})$, очевидно, выполняется, и мы получим для $j = 1, \: \ldots, \: r$:
+$$\frac{F}{r} \left\{ \frac{[\alpha_{j-1}, \: \beta]}{f_{j-1}} - \frac{[\beta, \: \alpha_{j+2}]}{f_{j+1}} + \frac1{f_j} [\beta, \: \alpha_j + \alpha_{j+1}] \right\} = [\beta, \: \alpha_j + \alpha_{j+1}] \label{eq:29} \tag{29}$$
+ +Если мы теперь намеренно выберем $\beta = \alpha_j$, формула примет вид
+$$\frac{F}{r} \left\{ 4 - \frac{[\alpha_j, \: \alpha_{j+2}]}{f_{j+1}} \right\} = 2 f_j \label{eq:30} \tag{30}$$
+а для $\beta = -\alpha_{j+1}$
+$$\frac{F}{r} \left\{ 4 - \frac{[\alpha_{j-1}, \: \alpha_{j+1}]}{f_{j-1}} \right\} = 2 f_j \label{eq:31} \tag{31}$$
+Сравним эти две формулы и получим
+$$[\alpha_j, \: \alpha_{j+2}] = \frac{f_{j+1}}{f_{j-1}} [\alpha_{j-1}, \: \alpha_{j-1}] \label{eq:32} \tag{32}$$
+ +Теперь мы запишем уравнение $(\ref{eq:31})$ в форме
+$$2 \left( 2 - \frac{r f_j}{F} \right) = \frac{[\alpha_{j-1}, \: \alpha_{j+1}]}{f_{j-1}} \notag$$
+и получим путём повторного применения $(\ref{eq:32})$:
+$$2 \left( 2 - \frac{r f_j}{F} \right) = \frac{f_j}{f_1 \cdot f_2} [\alpha_1, \: \alpha_3] \notag$$
+или
+$$f_j = \frac2{\cfrac{r}{F} + \cfrac{[\alpha_1, \: \alpha_3]}{2 f_1 \cdot f_2}} \label{eq:33} \tag{33}$$
+ +Для $r = 3$ наша экстремальная задача тривиальна. В случае $r \ge 4$ получается, что $f_3 = f_4 = \ldots = f_r$. При циклической перестановке номеров вершин многоугольника $K$ получим
+$$f_1 = f_2 = \ldots = f_r \label{eq:34} \tag{34}$$
+а после $(\ref{eq:32})$ также получим
+$$[\alpha_i, \: \alpha_{i+2}] = [\alpha_1, \: \alpha_3] = \beta \;\; (i = 1, \: 2, \: \ldots, \: r) \label{eq:35} \tag{35}$$
+где $\beta$ - некоторая константа.
+ +Примечание. В случае $\beta = [\alpha_i, \: \alpha_{i+2}] = 0$ получается, что $f_j = 2F/r$. Таким образом, вектор $\alpha_{i+2}$ всегда параллелен $\alpha_i$. Это возможно только в том случае, если $r = 4$, а $K$ - параллелограмм.
+ +Теперь вернёмся к общему случаю. С помощью аффинных преобразований мы всегда можем добиться того, что $f_j = 1/2$, то есть
+$$[\alpha_i, \: \alpha_{i+1}] = 1 \label{eq:36} \tag{36}$$
+Из $(\ref{eq:33})$ сразу следует
+$$F = \frac{r}{2(2-\beta)} \label{eq:37} \tag{37}$$
+и, следовательно, $\beta \lt 2$.
+ +Так как векторы $\alpha_{i-2}$ и $\alpha_{i-1}$ линейно независимы, из $\alpha_i = x \alpha_{i-2} + y \alpha_{i-1}$, учитывая $(\ref{eq:35})$ и $(\ref{eq:36})$, следует:
+$$\alpha_i = -\alpha_{i-2} + b \alpha_{i-1} \label{eq:38} \tag{38}$$
+ +Таким образом, мы показали, что векторы $\alpha_i$ сторон максимального выпуклого $r$-угольника должны удовлетворять рекурсивной формуле $(\ref{eq:38})$. Завершим доказательство, показав, что в этом случае можно определить евклидову метрику в аффинной плоскости, относительно которой многоугольник $K$ является правильным $r$-угольником.
+Во-первых, заметим, что всегда должно быть
+$$-1 \leq b \lt 2 \label{eq:39} \tag{39}$$
+Действительно, если $b \lt -1$, то сторона $\alpha_3$ будет пересекать сторону $\alpha_1$, что противоречит выпуклости $K$. Верхняя оценка $b \lt 2$ уже доказана в $(\ref{eq:37})$.
+ +Евклидова метрика однозначно устанавливается, если мы определим скалярное произведение векторов $\alpha_1$ и $\alpha_2$, которые мы рассматриваем как базис:
+$$\alpha_1^2 = \alpha_2^2 = \frac{2}{\sqrt{4-b^2}}, \;\; \alpha_1\alpha_2 = \frac{b}{\sqrt{4-b^2}} \label{eq:40} \tag{40}$$
+Заметим, что
+$$[\alpha_1, \alpha_2]^2 = \begin{vmatrix} \alpha_1^2 & \alpha_1\alpha_2 \\ \alpha_1\alpha_2 & \alpha_2^2 \end{vmatrix} = 1 \notag$$
+Следовательно, эта метрика положительно определена, т.е. является евклидовой метрикой.
+ +Теперь, используя рекурсивную формулу из $(\ref{eq:38})$, легко доказать по индукции, что для всех $j$ должно выполняться
+$$\alpha_j^2 = \frac{2}{\sqrt{4-b^2}}, \;\; \alpha_j\alpha_{j+1} = \frac{b}{\sqrt{4-b^2}}, \;\; [\alpha_j, \:\alpha_{j+1}] = 1 \notag$$
+Отсюда следует, что все стороны нашего $r$-угольника $K$ имеют одинаковую длину и что любые две смежные стороны пересекаются под одним углом. Таким образом, $r$-угольник должен быть правильным относительно этой метрики.
+Это доказывает единственность максимального многоугольника. Его существование следует из ограниченности $Z(K)$ и непрерывности $F$ и $Z$. Таким образом, утверждение 2 полностью доказано.
+$\triangleleft$
+ +3. Случайно выбранные точки в выпуклой области с гладкой границей¶
Утверждение 3. Если точки $P_i$ равномерно распределены в выпуклой области с гладкой границей на плоскости, математическое ожидание числа вершин выпуклой оболочки $E_n = O(\sqrt[3]n)$.
+ +Доказательство:
+$\triangleright$
+Пусть теперь $K$ - выпуклая область, граница которой имеет непрерывную кривизну как функцию от длины дуги. В обозначениях предыдущих параграфов мы снова получаем
+$$E_n = C_n^2 \cdot W_n \notag$$
+ +Согласно утверждению о мере множества пар точек, известному из интегральной геометрии (см. Blascke [2], S 17, (86)):
+$$dP_1 dP_2 = \left|t_1 - t_2\right| \, dt_1 \, dt_2 \, d\varphi \, dp \label{eq:41} \tag{41}$$
+где $p$ — длина перпендикуляра к прямой $P_1 P_2$ из начала координат, $\varphi$ — угол наклона этого перпендикуляра, $t_1, \: t_2$ — расстояния по этой прямой от $P_1$ и $P_2$ до точки пересечения $P_1 P_2$ с перпендикуляром. Обозначим через $f$ площадь участка, отсекаемого от многоугольника $K$ прямой $P_1 P_2$. Тогда получим
+$$E_n = \cfrac{C_n^2}{F^2} \int\limits_0^{2\pi} \left\{ \int\limits_0^{p(\varphi)} \left(1-\frac{f}{F} \right)^{n-2} ( \iint \left|t_1 - t_2\right| \, dt_1 \, dt_2) \, dp \right\} d\varphi \label{eq:42} \tag{42}$$
+ +Через $l(p, \phi)$ обозначим длину хорды области $K$, лежащей на прямой с координатами $p, \varphi$. Тогда
+$$\iint \left|t_1 - t_2\right| \, dt_1 \, dt_2 = \frac{l^3(p, \varphi)}{3} \label{eq:43} \tag{43}$$
+Таким образом,
+$$E_n = \cfrac{C_n^2}{3F^2} \int\limits_0^{2\pi} \left\{ \int\limits_0^{p(\varphi)} \left(1-\frac{f}{F} \right)^{n-2} l^3(p, \varphi) \, dp \right\} \, d\varphi \label{eq:44} \tag{44}$$
+ +При расчете асимптотического значения $E_n$ мы можем, очевидно, ограничиться парами значений $(p, \: \varphi)$, для которых выполняется $f/F < \varepsilon$; другие пары значений дают только остаточный член порядка $n^2(1-\varepsilon)^n = o(1)$. Рассмотрим теперь фиксированное значение $\varphi$. Пусть $P(\varphi)$ - точка, в которой касательная к $K$ имеет угол наклона $\varphi$. Как становится ясно из нижеследующих оценок, можно заменить $f$ и $l$ на соответствующие величины $\bar f$ и $\bar l$ окружности кривизны в точке $P(\varphi)$.
+ +Пусть $\alpha$ - центральный угол, соответствующий хорде $l$, и $r(\varphi)$ - радиус окружности кривизны в точке $P(\varphi)$. Тогда
+$$\bar l = 2 \, r(\varphi) \, \sin(\alpha/2) \quad \text{и} \quad \bar f = \frac12 (\alpha - \sin\alpha) \, r^2(\varphi) \label{eq:45} \tag{45}$$
+Кроме того,
+$$\left| \, dp \, \right| = \frac12 r(\varphi) \sin(\alpha/2) \left| \, d\alpha \, \right| \label{eq:46} \tag{46}$$
+Наконец,
+$$l - \bar l = o(\alpha^2) \quad \text{и} \quad f - \bar f = o(\alpha^4) \label{eq:47} \tag{47}$$
+ +Таким образом, получаем результат для $E_n$:
+$$E_n = \cfrac{C_n^2}{12F^2} \int\limits_0^{2\pi} r^4 \int\limits_0^{\alpha(\varphi)} \left( 1 - \frac{\alpha^3r^2}{12F^2} + o(\alpha^3) \right)^{n-2} (\alpha^4 + o(\alpha^5)) \, d\alpha \, d\varphi \label{eq:48} \tag{48}$$
+ +Подставив
+$$\frac{\alpha^3r^2}{12F} = \frac{X}{n} \label{eq:49} \tag{49}$$
+получим
+$$S(\varphi) = \int\limits_0^{\alpha(\varphi)} \left(1 - \frac{\alpha^3r^2}{12F} + o(\alpha^3)\right)^{n-2} (\alpha^4 + o(\alpha^5)) \, d\alpha \label{eq:50} \tag{50}$$ +$$S(\varphi) = \frac13 \left(\frac{12F}{r^2 n}\right)^{5/3} \left(\int\limits_0^\infty \left(1 - \frac{X}{n}\right)^{n-2} x^{2/3} \, dx + o(1)\right) = \\ = \frac13 \, \Gamma \left( \frac{5}{3} \right) \left(\frac{12F}{r^2 n}\right)^{5/3} (1 + o(1)) \notag$$
+ +Таким образом
+$$E_n \sim \Gamma \left(\frac{5}{3}\right) \, \sqrt[3]{\frac{2n}{3F}} \, \int\limits_0^{2\pi} r^{2/3} \, d\varphi \label{eq:51} \tag{51}$$
+Обозначим за $s$ длину дуги границы $K$ и, считая $d\varphi/ds = 1/r$, получим следующее утверждение:
+ +Если $K$ - выпуклая область, граничная кривая которой имеет непрерывную кривизну $x = x(s)$, то
+$$E_n \sim \Gamma \left(\frac{5}{3}\right) \, \sqrt[3]{\frac23} \, (F^{-1/3} \int\limits_L x^{1/3} \, ds) \sqrt[3]{n} \label{eq:52} \tag{52}$$
+Интеграл $\int\limits_L x^{1/3} \, ds$, входящий в $(\ref{eq:52})$, является аффинной длиной кривой $L$. Легко видеть, что множитель $\sqrt[3]{n}$ является аффинно-инвариантным. Из аффинного изопериметрического свойства эллипсов (см. [3]) непосредственно следует, что этот множитель максимален для эллипсов и только для эллипсов.
+$\triangleleft$
+ +4. Нормальное распределение случайных точек¶
Утверждение 4. Пусть точки $P_i \:(i = 1, \:2, \:\ldots, \:n)$ выбираются на плоскости независимо друг от друга в соответствии с нормальным распределением. Тогда
+$$E_n \sim 2 \sqrt{2 \pi \log n} \label{eq:53} \tag{53}$$
+ +Доказательство:
+$\triangleright$
+Так как $E_n$ инвариантно относительно аффинных преобразований плоскости, можно считать, что функция плотности нашего нормального распределения имеет вид $\frac{1}{2\pi} \, exp \left(-\frac{x^2 + y^2}{2}\right) \notag$. Как и в предыдущих параграфах,
+$$E_n = C_n^2 \cdot W_n \notag$$
+где $W_n$ - вероятность того, что все точки $P_3, \:\ldots, \:P_n$ лежат по одну сторону от прямой $P_1 P_2$.
+ +Из формулы интегральной геометрии
+$$dP_1dP_2 = |t_1 - t_2| \, dt_1 \, dt_2 \, dp \, d\varphi \notag$$
+и из-за круговой симметрии нормального распределения получаем
+$$W_n = \frac{1}{2\pi} \iiint (g(p)^{n-2} + (1 - g(p))^{n-2}) \, |t_1 - t_2| \, exp \left(-p^2 - \frac{t_1^2 + t_2^2}{2}\right) \, dt_1 \, dt_2 \, dp \label{eq:54} \tag{54}$$
+$$\text{где} \: g(p) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{P}^{+\infty} \frac{1}{2\pi} \, exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right) \, dx \, dy = 1 - \varPhi(p) \label{eq:55} \tag{55}$$
+$$\varPhi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^p exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du \label{eq:56} \tag{56}$$
+ +Через замену
+$$u = \frac{t_1 - t_2}{\sqrt 2}, \: v = \frac{t_1 + t_2}{\sqrt 2}, \: \frac{\partial(t_1, t_2)}{\partial(u, v)} = 1 \label{eq:57} \tag{57}$$
+получим
+$$\frac{1}{2\pi} \int\int |t_1 - t_2| \, exp\left(-\frac{t_1^2 + t_2^2}{2}\right) \, dt_1 \, dt_2 = \frac{2}{\sqrt \pi} \label{eq:58} \tag{58}$$
+ +Следовательно,
+$$W_n = \frac{2}{\sqrt \pi} \int\limits_0^\infty [\varPhi^{n-2}(p) + (1 - \varPhi(p))^{n-2}] e^{-p^2} dp \label{eq:59} \tag{59}$$
+и, очевидно, $1 - \varPhi(p) \leqq 1/2$ для $p \geqq 0$. А значит,
+$$W_n \sim \frac{2}{\sqrt \pi} \int\limits_0^\infty \varPhi^{n-2}(p) e^{-p^2} dp \label{eq:60} \tag{60}$$
+ +Теперь для $p > 1$
+$$\varPhi(p) = 1 - \frac{exp \left(-\frac{p^2}{2}\right)}{\sqrt{2\pi}p\left(1 + \frac{\theta p}{p^2}\right)} \label{eq:61} \tag{61}$$
+где $0 < \theta_p < 1$ (см. [4], стр. 136, задача 18).
+ +Выполним подстановку
+$$p = \sqrt{2\log n - \log(2\log n)} + \frac{u - \log \sqrt{2\pi}}{\sqrt{2 \log n}} \label{eq:62} \tag{62}$$
+и получим
+$$W_n \sim \frac{4\sqrt{2\pi\log n}}{n^2}$$
+Таким образом, $E_n \sim 2\sqrt{2\pi \log n}$, что и требовалось доказать.
+$\triangleleft$
+ +Литература¶
1) A. Rényi, R. Sulanke: Über die konvexe Hülle von n zufällig gewählten Punkten. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 2 (1963), 75—84
+2) W. Blaschke: Integralgeometrie. 3. Aufl. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1955, 1—130.
+3) W. Blaschke, K. Reidemeister: Differentialgeometrie II, Berlin: Springer 1923, 60.
+4) A. Rényi: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang über Informationstheorie. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1962, 1—547.