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<title>PAM4 SerDes TX Linear Fit — Tutorial</title>
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<nav><div class="container">
<span class="title">PAM4 SerDes Linear Fit Tutorial</span>
<a href="#overview">Overview</a>
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<a href="#math">Math</a>
</div></nav>
<div class="container">
<!-- ============================================================ -->
<section id="overview">
<h1>PAM4 Channel Pulse Response Extraction</h1>
<div class="key">
<strong>已知：</strong>ideal PRBS pattern <code>a[n]</code>（無 ISI）＋ 量測波形 <code>y[n]</code>（有 ISI）<br>
<strong>求解：</strong>channel pulse response <code>h[k]</code><br>
<strong>驗證：</strong><code>conv(a, h) ≈ y</code>，FFT(h) ≈ channel 頻率響應
</div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<section id="workflow">
<h2>完整流程</h2>
<div class="flow">
<div class="box">Ideal PRBS<br><small>a[n], 無 ISI</small></div><span class="arrow">→</span>
<div class="box orange">Loss Channel<br><small>H(f)</small></div><span class="arrow">→</span>
<div class="box red">Measured<br><small>y[n], 有 ISI</small></div><span class="arrow">→</span>
<div class="box green">Linear Fit<br><small>y = A·h</small></div><span class="arrow">→</span>
<div class="box">Pulse h[k]</div>
</div>
<p style="text-align:center;margin:10px 0;">
驗證：<code>conv(a, h)</code> = <strong>fitted waveform</strong> ≈ measured waveform<br>
頻域：<code>FFT(h)</code> = 系統 AC response
</p>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 1: WAVEFORM -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-waveform">
<h2>Tab 1: Waveform — 三種波形比較</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/waveform.png" alt="Waveform"></div>
<h3>上圖：三條線分別是什麼</h3>
<table>
<tr><th>顏色</th><th>名稱</th><th>來源</th><th>意義</th></tr>
<tr><td><span class="tag blue">藍</span></td>
<td>Ideal PRBS (symbols)</td>
<td>已知的輸入 pattern <code>a[n]</code></td>
<td>完美方波，只有 {-3, -1, +1, +3} 四個值，<strong>沒有 ISI</strong></td></tr>
<tr><td><span class="tag red">紅</span></td>
<td>Measured (after channel)</td>
<td>ideal PRBS 通過 lossy channel 後的波形</td>
<td>有 ISI：level 之間的轉換變慢、振幅被壓縮、相鄰 symbol 互相干擾</td></tr>
<tr><td><span class="tag green">綠虛線</span></td>
<td>Fitted = conv(symbols, h)</td>
<td>ideal symbols 跟提取的 pulse response 做 convolution</td>
<td>如果 linear fit 正確，<strong>這條線應該跟紅線幾乎完全重疊</strong></td></tr>
</table>
<h3>下圖：Error = Measured − Fitted</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<p><strong>看什麼：</strong></p>
<ul>
<li><strong>幅度越小越好</strong>：RMS 值顯示在標題</li>
<li><strong>應該看起來像白噪音</strong>（隨機、無規律）</li>
<li>如果有低頻波動 → DC offset 沒 fit 好</li>
<li>如果有週期性 → tap 數量不夠</li>
</ul>
<div class="key">
<strong>判讀標準：</strong><br>
SNDR(meas vs fitted) 應該 ≈ 你設定的 noise SNR。<br>
例：noise SNR = 40 dB → 預期 SNDR ≈ 37~40 dB
</div>
</div></div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 1b: WAVEFORM (OS) -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-waveform-os">
<h2>Tab 1b: Waveform (OS) — Oversampled 波形</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/waveform_os.png" alt="Waveform OS"></div>
<h3>看什麼</h3>
<table>
<tr><th>圖</th><th>內容</th><th>注意事項</th></tr>
<tr><td>上圖（藍）</td><td>Ideal PRBS (ZOH)：完美方波，每個 symbol 維持 1 UI</td>
<td>Rise/fall 幾乎是瞬間的（1 sample = 1/64 UI）<br>只有 {-3,-1,+1,+3} 四個 level</td></tr>
<tr><td>下圖（紅）</td><td>Measured：通過 channel 後的類比波形</td>
<td>轉換變慢（rise time 增加）<br>振幅被壓縮<br>有 ISI（相鄰 symbol 互相干擾）<br>overshoot / ringing 可能出現</td></tr>
</table>
<div class="note">
<strong>跟 Tab 1 的差異：</strong>Tab 1 是 1 sample/UI（只看 sampling 點的值），
這裡是完整的 oversampled 波形（64 samp/UI），可以看到 transition 的完整形狀。
</div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 2: EYE DIAGRAM -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-eye">
<h2>Tab 2: Eye Diagram — PAM4 眼圖</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/eye_diagram.png" alt="Eye Diagram"></div>
<h3>看什麼</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<table>
<tr><th>特徵</th><th>好的眼圖</th><th>差的眼圖</th></tr>
<tr><td>眼睛開口（垂直）</td><td>大、清晰的三個菱形開口</td><td>開口小或完全閉合</td></tr>
<tr><td>眼睛寬度（水平）</td><td>開口寬，佔大部分 UI</td><td>開口窄，只在中心一小段</td></tr>
<tr><td>Level 分離度</td><td>四個水平 level 清楚分開</td><td>level 模糊、重疊</td></tr>
<tr><td>Crossing 處的散佈</td><td>集中在同一個時間點</td><td>jitter 大 → 散佈寬</td></tr>
<tr><td>噪音</td><td>每個 level 附近的線條集中</td><td>線條粗、散開</td></tr>
</table>
</div></div>
<h3>繪製方式</h3>
<ol>
<li>用 CDR 找到最佳 sampling phase</li>
<li>把 oversampled 波形摺疊成 2 UI 為一段</li>
<li>Cubic 插值到 128 pts/UI（讓曲線平滑）</li>
<li>疊在一起畫成 2D density heatmap（白底）</li>
<li>顏色越深 = 那個位置通過的 trace 越多</li>
</ol>
<div class="note">
<strong>PAM4 有 3 個 eye：</strong> 在 level -3/-1、-1/+1、+1/+3 之間各有一個菱形開口。<br>
Channel loss 越大 → 眼睛越閉合。ISI 讓不同 symbol transition 的軌跡分散開來。
</div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 3: PULSE RESPONSE -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-pulse">
<h2>Tab 3: Pulse Response — 提取的脈衝響應</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/pulse_response.png" alt="Pulse Response"></div>
<h3>上圖：Extracted vs True</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<table>
<tr><th>顏色</th><th>名稱</th><th>來源</th></tr>
<tr><td><span class="tag blue">藍 ●</span></td><td>Extracted</td><td>Linear fit 解出來的 h[k]</td></tr>
<tr><td><span class="tag green">綠 ■</span></td><td>True (impulse test)</td><td>Ground truth：送 impulse 通過同樣 channel 得到的真實 pulse</td></tr>
</table>
<p><strong>看什麼：</strong>兩組點應該<strong>完全重疊</strong>。如果重疊 = linear fit 正確。</p>
</div></div>
<h3>每個 tap 的物理意義</h3>
<div class="eq">
y[n] = h[0]·a[n] + h[1]·a[n-1] + h[2]·a[n-2] + ⋯
</div>
<table>
<tr><th>Tap</th><th>名稱</th><th>意義</th><th>理想值</th></tr>
<tr><td>h[cursor]</td><td><strong>Main cursor</strong></td><td>當前 symbol 對 output 的貢獻（最大的 tap）</td><td>趨近 1.0（無 loss）</td></tr>
<tr><td>h[cursor−1], h[cursor−2]</td><td>Pre-cursor</td><td>未來 symbol 對當前 output 的干擾</td><td>趨近 0（無 ISI）</td></tr>
<tr><td>h[cursor+1], h[cursor+2], ...</td><td>Post-cursor</td><td>過去 symbol 對當前 output 的干擾</td><td>趨近 0（無 ISI）</td></tr>
</table>
<div class="warn">
<strong>Pre/post cursor 越大 = ISI 越嚴重。</strong><br>
Channel loss 越大 → cursor 變小、pre/post cursor 變大 → 眼圖越閉合。
</div>
<h3>下圖：Extraction Error</h3>
<p>每個 tap 的 extracted − true 差值。RMS 值越小代表提取越準確。</p>
<p>典型值：RMS < 0.001 表示提取非常準確。</p>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 3b: STEP RESPONSE -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-step">
<h2>Tab 3b: Step Response — 階躍響應</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/step_response.png" alt="Step Response"></div>
<h3>Step Response 是什麼</h3>
<div class="eq">step[n] = Σ<sub>k=0</sub><sup>n</sup> h[k] = cumsum(pulse response)</div>
<p>就是 pulse response 的<strong>累積和</strong>。物理意義：如果輸入一個 step（從 0 跳到 1），輸出的波形就是 step response。</p>
<h3>看什麼</h3>
<table>
<tr><th>特徵</th><th>意義</th></tr>
<tr><td>Final value</td><td>系統的 DC gain。理想值 = 1.0（無 loss 時 pulse response 總和 = 1）</td></tr>
<tr><td>50% point（紫星）</td><td>上升到一半所需的 tap 數，反映 channel 的 group delay</td></tr>
<tr><td>上升斜率</td><td>越陡 = channel bandwidth 越大，transition 越快</td></tr>
<tr><td>收斂速度</td><td>多少 tap 後趨於穩定？越慢 = ISI 越嚴重，需要更多 tap</td></tr>
<tr><td>Overshoot / ringing</td><td>超越 final value 再回來 = channel 有 peaking</td></tr>
</table>
<div class="note">
<strong>在 SI 分析中：</strong>Step response 常用來判斷 channel 的 rise time 和 settling behavior。
如果 step response 收斂太慢 → equalizer 需要更多 tap 來補償。
</div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 4: AC RESPONSE -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-ac">
<h2>Tab 4: AC Response — 頻率響應</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/ac_response.png" alt="AC Response"></div>
<h3>三條線分別代表什麼</h3>
<table>
<tr><th>顏色</th><th>名稱</th><th>計算方式</th><th>包含什麼</th></tr>
<tr><td><span class="tag blue">藍 實線</span></td>
<td>Extracted |G(f)|</td>
<td><code>FFT(h_extracted)</code></td>
<td>Channel + ZOH sinc + Aliasing<br>= 1 sps 系統的實際頻率響應</td></tr>
<tr><td><span class="tag green">綠 虛線</span></td>
<td>True pulse</td>
<td><code>FFT(impulse test result)</code></td>
<td>同上（ground truth）</td></tr>
<tr><td><span class="tag red">紅 點線</span></td>
<td>Pure channel H(f)</td>
<td>直接從你的 IL 設定計算</td>
<td>只有 Channel<br>（不含 sinc 和 aliasing）</td></tr>
</table>
<h3>如何判讀</h3>
<div class="key">
<ul>
<li><strong>藍線和綠線重疊</strong> → linear fit 正確！</li>
<li><strong>紅線跟藍/綠不同</strong> → 正常！紅線是純 channel，藍/綠包含 ZOH sinc 和 aliasing</li>
</ul>
</div>
<h3>為什麼 Extracted ≠ Pure Channel？</h3>
<p>信號從 ideal PRBS 到 1 sps 量測波形，經過三個處理：</p>
<div class="flow">
<div class="box">ZOH<br><small>sinc(f) 衰減</small></div><span class="arrow">×</span>
<div class="box orange">Channel<br><small>H(f) loss</small></div><span class="arrow">→ 降採樣 →</span>
<div class="box red">Aliasing<br><small>高頻摺疊</small></div>
</div>
<table>
<tr><th>效果</th><th>@ Nyquist</th><th>說明</th></tr>
<tr><td>(A) 純 Channel</td><td>-10.0 dB</td><td>你設定的</td></tr>
<tr><td>(B) ZOH sinc</td><td>-3.9 dB</td><td>sinc(0.5) = 2/π ≈ 0.637</td></tr>
<tr><td>(C) = A + B</td><td>-13.9 dB</td><td>無 aliasing 的預期值</td></tr>
<tr><td>(D) 含 Aliasing</td><td>~-8 dB</td><td>旁瓣能量摺疊回來 → loss 變少</td></tr>
</table>
<div class="eq">
G(f) = Σ<sub>k=−∞</sub><sup>∞</sup> sinc(f + k·f<sub>baud</sub>) × H<sub>ch</sub>(f + k·f<sub>baud</sub>)
</div>
<p>k=0 是主要項，k≠0 是 aliasing。sinc 的旁瓣 (sidelobes) 在 1.5×, 2.5× f<sub>baud</sub> 處非零，
乘上 channel 後摺疊回基帶。</p>
<pre><code>頻率 (× f_baud) |sinc| 說明
0.0 1.000 DC
0.5 (Nyquist) 0.637 主瓣邊緣
1.0 0.000 零點
1.5 0.212 第1旁瓣 → 摺疊回來！
2.0 0.000 零點
2.5 0.127 第2旁瓣 → 也摺疊回來！</code></pre>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 5: LINEAR FIT -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-linfit">
<h2>Tab 5: Linear Fit — 六張子圖完整解讀</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/linear_fit.png" alt="Linear Fit"></div>
<!-- PANEL 1 -->
<h3>子圖 (1)：Matrix A 熱力圖</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<p><strong>是什麼：</strong>矩陣 A 的前 50 行，用顏色表示每個元素的值。</p>
<ul>
<li><span style="color:#b91c1c;font-weight:700;">紅 = +3</span>、
<span style="color:#f97316;font-weight:700;">淡紅 = +1</span>、
<span style="color:#3b82f6;font-weight:700;">淡藍 = −1</span>、
<span style="color:#1e3a8a;font-weight:700;">深藍 = −3</span></li>
<li>X 軸 = column k = tap index</li>
<li>Y 軸 = row = output sample index</li>
</ul>
<p><strong>為什麼是斜條紋：</strong>每一行是上一行往右 shift 一格 → Toeplitz 結構。</p>
<div class="eq">
A[i, k] = a[n<sub>i</sub> − k]
</div>
<pre><code>Row i : [a[n], a[n-1], ..., a[n-L+1]]
Row i+1: [a[n+1], a[n], ..., a[n-L+2]]
↑ 整列右移一格</code></pre>
<p><strong>看什麼：</strong></p>
<ul>
<li>斜條紋清晰 → 結構正確</li>
<li>顏色隨機分布 → PRBS pattern 有良好隨機性</li>
<li>如果出現大面積同色塊 → pattern 有長串重複 → cond# 會變差</li>
</ul>
</div></div>
<!-- PANEL 2 -->
<h3>子圖 (2)：一行範例</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<p><strong>是什麼：</strong>從矩陣 A 中取出一行（例如 n=2057），畫成 bar chart。</p>
<p>每個 bar 的高度是 <code>a[n-k]</code> 的值。</p>
<p><strong>數學意義：</strong>這一行代表一條方程式：</p>
<div class="eq" style="font-size:.95em;">
y[2057] = h[0]×<span style="color:#b91c1c;">a[2057]</span>
+ h[1]×<span style="color:#b91c1c;">a[2056]</span>
+ …
+ h[30]×<span style="color:#b91c1c;">a[2027]</span>
</div>
<p>Bar chart 顯示的是<span style="color:#b91c1c;">紅色部分</span>（已知的 symbol 值）。
<span style="color:#1d4ed8;">h[k]</span> 是我們要求的未知數。</p>
<p><strong>看什麼：</strong>值域應該只有 {-3, -1, +1, +3}，分布接近隨機。</p>
</div></div>
<!-- PANEL 3 -->
<h3>子圖 (3)：y vs A·h — 量測值 vs 擬合值</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<table>
<tr><th>線</th><th>代表</th></tr>
<tr><td><span class="tag blue">藍</span> y</td><td>量測波形（真實值）</td></tr>
<tr><td><span class="tag red">紅虛線</span> A·h+dc</td><td>模型預測值 = 矩陣 A 乘以解出的 h，再加 DC offset</td></tr>
</table>
<p><strong>看什麼：兩條線越重疊越好。</strong></p>
<ul>
<li>完全重疊 → 模型完美解釋數據</li>
<li>系統性偏移 → 需要 fit DC offset</li>
<li>某些區域偏差大 → tap 不夠或非線性</li>
</ul>
<p><strong>對應的數學量：</strong></p>
<div class="eq">
R² = 1 − Σ(y − ŷ)² / Σ(y − ȳ)²
</div>
<table>
<tr><th>R²</th><th>意義</th></tr>
<tr><td>0.9999</td><td>非常好：99.99% 的 variance 被解釋</td></tr>
<tr><td>0.999</td><td>好：可能 tap 不夠或 noise 較大</td></tr>
<tr><td>< 0.99</td><td>需要檢查 alignment、tap 數量、或非線性問題</td></tr>
</table>
</div></div>
<!-- PANEL 4 -->
<h3>子圖 (4)：Residual = y − A·h</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<p><strong>是什麼：</strong>上面圖 (3) 兩條線之間的差值。</p>
<div class="eq">e[n] = y[n] − ŷ[n] = y[n] − (A·ĥ + dc)</div>
<ul>
<li>綠色曲線 = 每個 sample 的 error</li>
<li>橘色虛線 = ±RMS 邊界</li>
</ul>
<p><strong>看什麼：</strong></p>
<ul>
<li><callout>應該像白噪音</callout>（隨機、無結構）</li>
<li>如果有週期性 → channel impulse response 比 L taps 更長 → <strong>增加 tap 數量</strong></li>
<li>如果有低頻飄移 → 啟用 DC offset fitting</li>
<li>如果 amplitude 隨時間變化 → 系統不穩定</li>
</ul>
<p><strong>SNDR 計算：</strong></p>
<div class="eq">
SNDR = 10 · log<sub>10</sub>( mean(y²) / mean(e²) )
</div>
</div></div>
<!-- PANEL 5 -->
<h3>子圖 (5)：SVD of A — 奇異值</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<p><strong>是什麼：</strong>矩陣 A 的所有奇異值 σ<sub>i</sub>，由 SVD 分解得到。</p>
<div class="eq">A = U · Σ · V<sup>T</sup></div>
<p><strong>看什麼：</strong></p>
<ul>
<li><callout>奇異值越 flat（平坦）越好</callout></li>
<li>Flat = 所有方向的信息量均衡 = well-conditioned = 解穩定</li>
<li>如果有驟降 → 那些方向的 h[k] 難以確定 → ill-conditioned</li>
</ul>
<p><strong>Condition number：</strong></p>
<div class="eq">
cond(A) = σ<sub>max</sub> / σ<sub>min</sub>
</div>
<table>
<tr><th>Cond #</th><th>意義</th></tr>
<tr><td>1 ~ 3</td><td>非常好（PRBS 典型值 ≈ 2.2）</td></tr>
<tr><td>10 ~ 100</td><td>勉強可以</td></tr>
<tr><td>> 1000</td><td>不可靠，需要 regularization 或換 pattern</td></tr>
</table>
<p><strong>為什麼 PRBS 的 cond# 低？</strong></p>
<pre><code>A<sup>T</sup>A 的元素 [i,j] = N · R<sub>aa</sub>[i-j]
= symbols 的自相關
PRBS autocorrelation:
R[0] = E[a²] = 5.0 (PAM4 平均功率)
R[k≠0] ≈ 0 (偽隨機 ≈ 白噪音)
→ A<sup>T</sup>A ≈ 5N · I (常數 × 單位矩陣)
→ 所有 σ<sub>i</sub> ≈ √(5N)
→ cond ≈ 1</code></pre>
</div></div>
<!-- PANEL 6 -->
<h3>子圖 (6)：Summary 文字</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<p>右下角的文字框總結整個 linear fit 的結果：</p>
<ul>
<li><strong>Model</strong>：使用的數學模型</li>
<li><strong>A 的大小</strong>：N × L = 方程式數 × 未知數</li>
<li><strong>Rank</strong>：= L 表示所有 tap 都可被唯一確定</li>
<li><strong>Cond#</strong>：condition number</li>
<li><strong>Verify row</strong>：代回一行驗算，確認 Σ h[k]·a[n-k] ≈ y[n]</li>
<li><strong>R²、SNDR</strong>：最終擬合品質</li>
</ul>
</div></div>
<!-- CONFIDENCE INTERVAL -->
<h3>Confidence Interval（信賴區間）</h3>
<p>在 Pulse Response 圖上，每個 tap 周圍的<strong>淡藍色陰影</strong>是 95% confidence interval。</p>
<div class="eq">
Cov(ĥ) = σ² · (A<sup>T</sup>A)<sup>−1</sup>
</div>
<p>其中 σ² = SS<sub>res</sub> / (N − L) 是 noise variance 的估計值。</p>
<p>每個 tap 的標準差：<code>std(h[k]) = sqrt( Cov[k,k] )</code></p>
<p>95% CI = <code>h[k] ± 1.96 × std(h[k])</code></p>
<table>
<tr><th>看什麼</th><th>意義</th></tr>
<tr><td>CI 很窄</td><td>該 tap 的值很確定（精度高）</td></tr>
<tr><td>CI 很寬</td><td>該 tap 的值不確定（可能被噪音主導）</td></tr>
<tr><td>relative CI < 1%</td><td>非常可靠</td></tr>
<tr><td>relative CI > 50%</td><td>該 tap 基本上是噪音，不具物理意義</td></tr>
</table>
<div class="note">
<strong>PRBS 的優勢：</strong>因為 A<sup>T</sup>A ≈ 5N·I，所以
Cov(ĥ) ≈ (σ²/5N)·I，每個 tap 的 CI 都一樣寬（均勻可靠）。
如果用非 PRBS pattern，某些 tap 的 CI 可能比其他的寬很多。
</div>
<!-- SIX PANELS STORY -->
<h3>六張圖的邏輯串連</h3>
<div class="key">
<ol>
<li><strong>圖(1)</strong>：我們建了什麼方程組？→ Toeplitz 矩陣，每行是 symbols 的 shift</li>
<li><strong>圖(2)</strong>：一條方程式長什麼樣？→ h[k] 乘上哪些 symbol 值</li>
<li><strong>圖(3)</strong>：解出來準嗎？→ y vs A·h 越重疊越好</li>
<li><strong>圖(4)</strong>：不準的部分長什麼樣？→ 殘差應該是白噪音</li>
<li><strong>圖(5)</strong>：方程組穩定嗎？→ flat SVD = 穩定</li>
<li><strong>圖(6)</strong>：所有數字一覽</li>
</ol>
</div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- TAB 6: HISTOGRAM -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="tab-hist">
<h2>Tab 6: Histogram — Level 分佈</h2>
<div class="fig-section"><img src="tutorial_img/histogram.png" alt="Histogram"></div>
<h3>看什麼</h3>
<div class="fig-row"><div class="fig-note">
<table>
<tr><th>顏色</th><th>代表</th></tr>
<tr><td><span style="color:#e74c3c;">■</span> 紅</td><td>被 classify 到 Level −3 的 samples</td></tr>
<tr><td><span style="color:#e67e22;">■</span> 橘</td><td>Level −1</td></tr>
<tr><td><span style="color:#2ecc71;">■</span> 綠</td><td>Level +1</td></tr>
<tr><td><span style="color:#3498db;">■</span> 藍</td><td>Level +3</td></tr>
<tr><td>灰色虛線</td><td>估計的四個 level 中心位置</td></tr>
</table>
<p><strong>看什麼：</strong></p>
<ul>
<li><callout>四個分佈應該清楚分開</callout>（不重疊）</li>
<li>各分佈的寬度 = noise + ISI 造成的散佈</li>
<li>Level 間距應該均等 → RLM ≈ 1.0</li>
<li>分佈形狀應接近 Gaussian（中央極限定理）</li>
</ul>
<p><strong>RLM (Ratio Level Mismatch)：</strong></p>
<div class="eq">
RLM = 3 × min(ΔV<sub>01</sub>, ΔV<sub>12</sub>, ΔV<sub>23</sub>) / V<sub>swing</sub>
</div>
<p>理想 = 1.0。< 0.9 表示 level 間距不均，可能是非線性問題。</p>
<p><strong>如果分佈重疊嚴重：</strong></p>
<ul>
<li>Channel loss 太大 → level 被壓縮</li>
<li>Noise 太大 → 每個 level 的散佈太寬</li>
<li>→ BER 會很高</li>
</ul>
</div></div>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- MATH DEEP DIVE -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="math">
<h2>數學推導</h2>
<h3>A. 從摺積到矩陣方程</h3>
<p>量測信號是 symbols 和 channel pulse 的摺積：</p>
<div class="eq">
y[n] = (a * h)[n] = Σ<sub>k=0</sub><sup>L-1</sup> h[k] · a[n−k]
</div>
<p>寫成矩陣形式：y = A · h，其中 A 是 Toeplitz 矩陣。</p>
<p>如果有 N 個 output samples 和 L 個 taps：A 是 N×L，方程組是<strong>超定的</strong>（N >> L）。</p>
<h3>B. Least Squares 求解</h3>
<div class="eq">
ĥ = argmin<sub>h</sub> ‖ y − A·h ‖²
</div>
<p><strong>Normal Equation：</strong></p>
<div class="eq">
A<sup>T</sup>A · ĥ = A<sup>T</sup>y  ⟹  ĥ = (A<sup>T</sup>A)<sup>−1</sup> A<sup>T</sup>y
</div>
<p><strong>幾何意義：</strong>把 y 投影到 A 的 column space 上。殘差 e = y − Aĥ 垂直於 column space：</p>
<div class="eq">A<sup>T</sup> · e = 0</div>
<h3>C. SVD 解法（數值穩定）</h3>
<pre><code>A = U · Σ · V<sup>T</sup>
ĥ = V · Σ<sup>−1</sup> · U<sup>T</sup> · y
其中 Σ<sup>−1</sup> = diag(1/σ₁, 1/σ₂, ..., 1/σ_L)
如果 σ_k 很小 → 1/σ_k 很大 → 放大噪音 → 解不穩定
如果所有 σ_k 差不多大（PRBS 的情況）→ 解非常穩定</code></pre>
<h3>D. Regularization（正則化）</h3>
<p>當 cond# 過大時，加 Tikhonov regularization：</p>
<div class="eq">
ĥ = (A<sup>T</sup>A + λI)<sup>−1</sup> A<sup>T</sup>y
</div>
<p>λ > 0 防止 1/σ<sub>k</sub> 爆掉，代價是引入少量 bias。對 PRBS 通常不需要。</p>
<h3>E. PRBS 為什麼適合做 Linear Fit</h3>
<pre><code>PRBS 的自相關：R[τ] = E[a[n]·a[n+τ]]
PAM4 ({-3,-1,+1,+3}) 的統計：
E[a] = 0 （均值為零）
E[a²] = (9+1+1+9)/4 = 5.0 （功率 = 5）
R[0] = 5.0
R[τ≠0] ≈ 0 （偽隨機序列近似白噪音）
→ A<sup>T</sup>A ≈ 5N · I （5N 倍的單位矩陣）
→ (A<sup>T</sup>A)<sup>−1</sup> ≈ (1/5N) · I
→ ĥ ≈ (1/5N) · A<sup>T</sup>y （類似 matched filter）
→ Condition number ≈ 1 （理想情況）</code></pre>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- FAQ -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="faq">
<h2>常見問題 FAQ</h2>
<h3>Q1: Tap 數量要設多少？</h3>
<p>取決於 channel 的 impulse response 長度：</p>
<table>
<tr><th>Channel 類型</th><th>建議 taps</th></tr>
<tr><td>Short reach（< 5 dB loss）</td><td>11 ~ 21</td></tr>
<tr><td>Medium reach（5-15 dB）</td><td>21 ~ 41</td></tr>
<tr><td>Long reach（> 15 dB）</td><td>41 ~ 101</td></tr>
</table>
<p><strong>判斷方法：</strong>跑一次後看 residual，如果有週期性結構就增加 tap 數。
或看 step response 是否已經收斂到 final value。</p>
<h3>Q2: R² 很低怎麼辦？</h3>
<ol>
<li>增加 tap 數量（channel 可能有長尾）</li>
<li>檢查 alignment（lag 是否合理）</li>
<li>檢查 CDR phase（相位是否最佳）</li>
<li>啟用 DC offset fitting</li>
<li>如果以上都做了還是低 → 系統可能有非線性（此工具假設線性）</li>
</ol>
<h3>Q3: 眼圖完全閉合怎麼辦？</h3>
<p>眼圖閉合代表 channel loss 太大，不代表 linear fit 有問題。嘗試：</p>
<ul>
<li>降低 channel IL（例如 -5 dB）</li>
<li>降低 noise（增加 SNR）</li>
<li>在實際系統中：需要 equalization (CTLE/DFE/FFE)</li>
</ul>
<h3>Q4: SNDR 比設定的 noise SNR 低很多？</h3>
<ul>
<li>Tap 不夠 → channel 的 tail 沒有被完整 capture</li>
<li>Circular convolution artifact → 波形開頭和結尾的 edge effect</li>
<li>Alignment 不準 → 部分 symbol 對應錯誤</li>
</ul>
<h3>Q5: 為什麼提取的 IL 跟設定的不一樣？</h3>
<p>因為提取的 pulse response 是在 1 sps 下的<strong>等效響應</strong>，包含：</p>
<ul>
<li>ZOH sinc 衰減（在 Nyquist 約 -3.9 dB）</li>
<li>降採樣的 aliasing（sinc 旁瓣能量摺疊回來）</li>
</ul>
<p>→ 看 AC Response 圖的藍線和綠線是否重疊。如果重疊，提取就是正確的。</p>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- CHANNEL COMPARISON -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="channel-cmp">
<h2>Channel Loss 模型比較</h2>
<table>
<tr><th>模型</th><th>公式</th><th>物理來源</th><th>適用場景</th></tr>
<tr><td><strong>Linear</strong></td>
<td>IL(f) = IL<sub>nyq</sub> × f/f<sub>nyq</sub></td>
<td>簡化模型</td>
<td>快速模擬、初步估算</td></tr>
<tr><td><strong>Sqrt (skin effect)</strong></td>
<td>IL(f) = IL<sub>nyq</sub> × √(f/f<sub>nyq</sub>)</td>
<td>導體中的集膚效應：電流集中在導體表面，電阻 ∝ √f</td>
<td>中短距離 PCB trace</td></tr>
<tr><td><strong>a√f + bf</strong></td>
<td>IL(f) = a√f + b·f</td>
<td>a = skin effect，b = dielectric loss</td>
<td>完整 PCB/cable 模型</td></tr>
<tr><td><strong>S-parameter</strong></td>
<td>從 .s4p 檔案讀取</td>
<td>實測或 EM 模擬</td>
<td>最精確，真實系統</td></tr>
</table>
<div class="note">
<strong>本工具目前支援 linear 和 sqrt。</strong>
a√f + bf 和 S-parameter 在未來版本加入。
</div>
<h3>同一 IL@Nyquist 下不同模型的差異</h3>
<pre><code>例：IL@Nyquist = -10 dB，f_nyq = 14 GHz
頻率 Linear Sqrt 差異
───── ────── ────── ────
2 GHz -1.4 dB -3.8 dB sqrt 在低頻衰減更多
7 GHz -5.0 dB -7.1 dB
14 GHz -10.0 dB -10.0 dB 定義點，相同
→ sqrt 模型的 loss 集中在低頻（skin effect 特性）
→ linear 模型的 loss 均勻分佈在所有頻率</code></pre>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- PRBS COMPARISON -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="prbs-cmp">
<h2>PRBS Pattern 比較</h2>
<table>
<tr><th>Pattern</th><th>Polynomial</th><th>Period</th><th>適合的 channel 長度</th></tr>
<tr><td>PRBS7</td><td>x<sup>7</sup>+x<sup>6</sup>+1</td><td>127</td><td>短 channel（< 10 tap）</td></tr>
<tr><td><strong>PRBS9</strong></td><td>x<sup>9</sup>+x<sup>5</sup>+1</td><td>511</td><td>中等 channel</td></tr>
<tr><td>PRBS13</td><td>x<sup>13</sup>+x<sup>12</sup>+x<sup>2</sup>+x+1</td><td>8191</td><td>長 channel</td></tr>
<tr><td>PRBS15</td><td>x<sup>15</sup>+x<sup>14</sup>+1</td><td>32767</td><td>很長的 channel</td></tr>
<tr><td>PRBS31</td><td>x<sup>31</sup>+x<sup>28</sup>+1</td><td>2.1×10<sup>9</sup></td><td>BER 測試用</td></tr>
</table>
<h3>PAM4 的 Quaternary PRBS</h3>
<table>
<tr><th>Pattern</th><th>做法</th><th>用途</th></tr>
<tr><td><strong>PRBSQ9</strong></td>
<td>兩個 decorrelated PRBS9 組成 MSB/LSB</td>
<td>PAM4 linear fit（4 level 都有覆蓋）</td></tr>
<tr><td>PRBS9 pairs</td>
<td>一個 PRBS9 取連續 2 bit 為一組</td>
<td>替代方案，但 level 分佈可能不均</td></tr>
</table>
<h3>Pattern 長度對 Linear Fit 的影響</h3>
<pre><code>Pattern 越長：
✓ 方程式越多（N 越大）→ 統計上越可靠
✓ autocorrelation 越接近 delta → cond# 越低
✓ 對長 channel 的 tail 也能 capture
✗ 計算時間增加（矩陣更大）
✗ 記憶體用量增加
建議：
N (symbols) >= 10 × L (taps) 以上
例：L = 31 taps → 至少 310 symbols → 1 個 PRBS9 period (511) 就夠
L = 101 taps → 至少 1010 symbols → 用 2~4 個 period</code></pre>
</section>
<!-- ============================================================ -->
<!-- GUI GUIDE -->
<!-- ============================================================ -->
<section id="gui">
<h2>GUI 操作指南</h2>
<h3>啟動</h3>
<pre><code>python gui.py</code></pre>
<h3>滑鼠操作（所有圖表通用）</h3>
<table>
<tr><th>操作</th><th>效果</th></tr>
<tr><td>滾輪上 / 下</td><td>以游標為中心放大 / 縮小</td></tr>
<tr><td>右鍵拖曳</td><td>框選區域放大</td></tr>
<tr><td>右鍵雙擊</td><td>重置到原始比例</td></tr>
</table>
<h3>驗證 Checklist</h3>
<table>
<tr><th>項目</th><th>預期</th><th>不符時的處理</th></tr>
<tr><td>R²</td><td>≥ 0.999</td><td>增加 tap 數量或檢查 alignment</td></tr>
<tr><td>SNDR (fit)</td><td>≈ noise SNR</td><td>模型不足或有非線性</td></tr>
<tr><td>Fitted vs Measured</td><td>幾乎重疊</td><td>tap 不夠或 pattern 太短</td></tr>
<tr><td>Pulse: 藍 vs 綠</td><td>完全重疊</td><td>linear fit 有問題</td></tr>
<tr><td>AC: 藍 vs 綠</td><td>完全重疊</td><td>頻域驗證有問題</td></tr>
<tr><td>Condition #</td><td>≈ 2</td><td>pattern 不夠隨機</td></tr>
<tr><td>Residual</td><td>白噪音狀</td><td>有結構 → 增加 taps</td></tr>
</table>
</section>
</div>
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</body>
</html>