二进制表示是自指完备系统中信息编码的基础形式。该定义建立在D1-1自指完备性的基础上，为后续的约束条件和φ-表示系统提供数学基础。
对于自指完备系统S，其二进制表示定义为：
条件1：编码完整性（唯一可解码性） $$ \forall s_1, s_2 \in S: s_1 \neq s_2 \Rightarrow \text{Encode}(s_1) \neq \text{Encode}(s_2) $$ 编码函数在S上是单射的。
条件2：前缀自由性（即时可解码） $$ \forall s_1, s_2 \in S: \text{Encode}(s_1) \text{ 不是 } \text{Encode}(s_2) \text{ 的前缀} $$ 任何码字都不是其他码字的前缀。
条件3：自嵌入性（自指完备性要求） $$ \text{Encode} \in \text{Domain}(\text{Encode}) \land \text{Encode}(\text{Encode}) \in \text{Range}(\text{Encode}) $$ 编码函数能够编码自身。
条件4：编码封闭性 $$ \text{Encode}(s) \in {0,1}^* \subseteq \mathcal{L} \subseteq \mathcal{S} $$ 编码结果是形式语言的元素，也是可能的系统状态。
二进制字符串空间${0,1}^*$包括：
- 空串：$\varepsilon$
- 有限长度串：${0,1}^n$ for all
$n \geq 1$ - 所有有限二进制串的集合
若$\text{Encode}$满足定义1.2的四个条件，则存在解码函数： $$ \text{Decode}: \text{Range}(\text{Encode}) \to S $$ 使得$\text{Decode} \circ \text{Encode} = \text{id}_S$
对于包含$|S|$个状态的系统，任何满足条件1-2的编码必须满足： $$ \max_{s \in S} |\text{Encode}(s)| \geq \lceil \log_2 |S| \rceil $$
在二进制表示中，符号0和1构成完全对偶： $$ 0 \equiv \neg 1, \quad 1 \equiv \neg 0 $$ 这种对偶性反映了自指系统的内在对称性。
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${0,1}^*$ ：所有有限长度二进制串的集合 -
$|s|$ ：字符串s的长度 -
$\varepsilon$ ：空字符串 -
$s_1 \circ s_2$ ：字符串连接 -
$\text{prefix}(s_1, s_2)$ ：$s_1$是$s_2$的前缀
- 基于：D1-1 (自指完备性定义)
- 支持：D1-3 (no-11约束定义)，D1-8 (φ-表示定义)
- 引理L1-2将证明二进制基底的必然性
- 定理T2-2将证明二进制表示的唯一性
- 推论C2-1将建立二进制同构性质
形式化特征：
- 类型：定义 (Definition)
- 编号：D1-2
- 状态：完整形式化定义
- 验证：符合严格定义标准
注记：本定义提供二进制表示的形式化框架，所有必然性证明和推导将在相应的引理和定理文件中完成。