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Figures de validation reproduites en C++ par python/plot_figures.py.

cmake -B build -DPOISSON_BUILD_PYTHON=ON && cmake --build build -j
./build/examples/poisson_demo --problem amr --Nmin 3 --Nmax 6 \
    --sigma 0.04 --output data/snapshots/amr.json
PYTHONPATH=build/python python3 python/plot_figures.py all

Chiffres clés

Cas Mesure Valeur Attendu
Poisson 1D L∞ relative vs analytique 3.9×10⁻¹⁵ ε_mach
Poisson 1D ‖V_cpp − V_scipy‖∞ 7.1×10⁻¹⁴ ULP
Diélectrique 1D (max−min)/|D|_moy à travers 3 couches ε 2.2×10⁻¹³ ε_mach
SOR 2D std(V, axis=1) sous Neumann y 2.6×10⁻¹¹ tol SOR
Spectral pente log-log, erreur vs sin continu +2.000 +2 (O(h²))
Spectral erreur vs mode propre discret 4.4×10⁻¹⁶ ε_mach
AMR ∫∫ρ numérique vs πσ² 0.00503 / 0.00503 0 %
AMR V_peak AMR vs DST 255² 0.5 % < 1 %

Poisson 1D Dirichlet

Poisson 1D

V''=0 sur [0, L] avec Dirichlet (uL, uR) ⇒ rampe linéaire analytique. Solveur : fv::solve_poisson_1d (FV 3-points + Thomas).

‖V_num − V_analytique‖∞ = 2.1×10⁻¹⁴ à N=100, soit 3.9×10⁻¹⁵ relatif. Plancher ε_mach · ‖V‖∞ ≈ 2.2×10⁻¹⁵. Le schéma VF est exact sur les polynômes de degré ≤ 2 (troncature h² V''''/12 = 0), donc l'erreur résiduelle est pure accumulation d'arrondis Thomas.

La bosse asymétrique observée sur le panneau de droite n'est pas un bug : le forward sweep de Thomas (i=1→N−1) accumule les arrondis proportionnellement à i, puis la back-substitution repart de uR=0 et ré-épingle l'erreur à droite. Cross-check externe : ‖V_cpp − V_scipy.solve_banded‖∞ = 7.1×10⁻¹⁴, du même ordre que l'écart à l'analytique.

Couches diélectriques 1D

Diélectrique 1D

∇·(ε∇V) = 0 avec ε_r(x) = {5, 1, 2} en 3 couches, Dirichlet V(0)=15, V(1)=0. Solveur : Thomas sur le système FV avec moyenne harmonique de ε aux faces.

D(x) = ε·E(x) doit être constant partout (pas de charge libre, ∇·D = 0). Observé : (max−min)/|D|_moy = 2.2×10⁻¹³, soit la précision machine. Principe physique : continuité du déplacement normal à travers les interfaces diélectriques (Griffiths §4.4).

SOR red-black 2D

SOR 2D

∇²V=0, Dirichlet en x, Neumann en y, pas de source ⇒ rampe linéaire en x indépendante de y. Solveur : fv::Solver2D cell-centered avec ω_opt = 2/(1 + sin(π/N)).

N=64, tol=1e-10 : 743 itérations. std(V, axis=1).max() = 2.6×10⁻¹¹ (Neumann en y bien capturée). Erreur vs rampe analytique : 3.3×10⁻⁹. Panneau droit : décroissance quasi-géométrique du résidu, pente contrôlée par ω_opt (un ω=1 requerrait ~10× plus d'itérations).

Coût total O(N³) (O(N²) par balayage × O(N) itérations avec ω_opt).

Convergence spectrale O(h²)

Convergence spectrale

Solution manufacturée V = sin(πx)·sin(πy), solveur spectral::DSTSolver2D (DST-I via FFTW, diagonalisation exacte).

  • Courbe bleue, vs sinus continu : pente log-log = +2.000, soit O(h²). C'est l'erreur de discrétisation seule (valeurs propres discrètes 4 sin²(kπh/2)/h² ≠ continues (kπ/L)²).
  • Courbe rouge, vs mode propre discret (ρ = λ^disc · V) : ~5×10⁻¹⁶ sur toutes les résolutions. Le DST inverse le Laplacien discret exactement.

Coût O(N² log N) par solve. À N=512 : 8 ms (vs ~2.5 s pour SOR à même précision). Compromis : DST exige Dirichlet homogène sur les 4 faces.

AMR quadtree sur Gaussienne

AMR Gaussienne

−ε₀∇²V = ρ avec ρ = exp(−r²/σ²) centrée, boîte [0,1]² à la terre, σ=0.04, raffinement 3 ≤ level ≤ 6. Solveur : `amr::extract_arrays

  • amr::sor, stencil FV hétérogène {2, 1, 2/3, 4/3}` aux interfaces coarse-fine.

400 feuilles (level 3 : 48, level 4 : 32, level 5 : 64, level 6 : 256). Maillage uniforme équivalent à level 6 = 4⁶ = 4096 cellules, soit un gain ×10.

Vérifications physiques :

  • Gauss : Σ ρ_i h_i² = 0.00503 = πσ² (intégrale de exp(−r²/σ²) sur R² ; la décroissance exponentielle rend la contribution hors-boîte négligeable). Écart : 0 %.
  • Comparaison V_peak : V_peak_AMR = 2.30×10⁻³ vs V_peak_DST_255² = 2.31×10⁻³, soit 0.5 % avec 10× moins de cellules. L'écart vient du stencil ordre 1 aux interfaces 2:1, d'où la prolongation bilinéaire dans le V-cycle composite.
  • Contrainte 2:1 : Quadtree::balance_2to1, testé dans test_quadtree.cpp.
  • Conservation des flux : Σ F_face = h²ρ par cellule, testé dans test_conservation.cpp.

CG : Gradient Conjugué

CG convergence

CG scaling

Même problème que le cas SOR 2D (rampe linéaire), trois solveurs comparés à tol=1e-10. Solveur : iter::solve_poisson_cg, matrix-free, fold des BCs Dirichlet dans le RHS puis CG sur l'opérateur SPD.

À N=128 :

  • CG : 187 itérations, 8.3 ms.
  • PCG Jacobi : 442 iter, 22.8 ms. Plus lent que CG ici car la diagonale est quasi-constante à ε uniforme (Jacobi n'aide que quand diag(A) varie fortement).
  • SOR ω_opt : 1443 iter, 52.8 ms.

Signature CG : plateau à ~10⁻² pendant ~170 itérations (construction du sous-espace Krylov), puis chute super-linéaire jusqu'à 10⁻¹⁰. En arithmétique exacte, CG termine en ≤ N itérations (ici N=128).

Scaling sur N ∈ {32, 64, 128, 256, 512} : les deux solveurs sont en O(N) itérations, mais CG a une constante ~5× plus petite. Wall time total : O(N³), CG ~5× plus rapide que SOR à toutes les résolutions.