gauge-fluid-helicity

Verificación numérica de la helicidad de un par enlazado de vórtices --- una recta y un anillo --- mediante la ley de Biot--Savart. Sirve de material de apoyo para el trabajo de curso "Análisis de la formulación variacional del fluido ideal a partir del principio gauge".

Contexto físico

En la formulación gauge del fluido ideal, la vorticidad (omega = curl v) es el campo de norma asociado al grupo de rotaciones locales SO(3). La cantidad

H = integral sobre V de (omega . v) d^3x

llamada helicidad, es el análogo hidrodinámico del término topológico de Chern--Simons. Moffatt (1969) demostró que mide el enlace y anudamiento de las líneas de vorticidad: para N filamentos cerrados de circulaciones gamma_i y números de enlace mutuos Lk(i,j),

H = 2 * suma sobre i<j de [gamma_i * gamma_j * Lk(i,j)].

El caso de prueba más sencillo es el par enlazado recta + anillo: un vórtice rectilíneo L sobre el eje x atravesando una vez a un anillo de vorticidad R de radio R en el plano x=0. Como Lk(L,R) = 1, la predicción teórica es:

H_teorico = 2 * gamma_L * gamma_R.

Este repositorio comprueba numéricamente esa predicción.

Qué hace el script

1. Calcula el campo de velocidad inducido por la recta de forma analítica.

2. Calcula el campo del anillo discretizando Biot--Savart con N = 400 puntos.

3. Evalúa la helicidad como suma de dos integrales de línea (que por el teorema de Stokes equivalen al número de enlace multiplicado por la circulación):

   H = gamma_L * (integral sobre L de v_R . dl)
     + gamma_R * (integral sobre R de v_L . dl).
   

4. Compara con el valor teórico y reporta el error relativo.

5. Genera la figura vortices.pdf / vortices.png con dos paneles: (a) la geometría 3D del enlace y (b) las líneas de corriente del campo del anillo en el plano y = 0 que contiene a la recta.

Requisitos

• Python 3.9 o superior
• NumPy
• Matplotlib

Instalación rápida:

pip install numpy matplotlib

Uso

python simulation.py

Salida esperada en consola:

---- Helicidad del par enlazado ----
  Contribucion de la linea  gamma_L * int_L v_R . dl = 0.999800
  Contribucion del anillo   gamma_R * int_R v_L . dl = 1.000000
  Helicidad numerica  H = 1.999800
  Prediccion teorica  2 gamma_L gamma_R = 2.000000
  Error relativo: 0.0100 %
Figura guardada: vortices.pdf / vortices.png

El error relativo del orden de 10^-4 es consistente con el orden N^-2 esperado para la regla del trapecio aplicada a un integrando suave y periódico.

Parámetros que se pueden modificar

Al inicio de simulation.py:

Variable	Significado	Valor por defecto
gamma_L	Circulación del vórtice rectilíneo	1.0
gamma_R	Circulación del anillo	1.0
R	Radio del anillo	1.0

Dentro de las funciones de integración pueden ajustarse:

• N (puntos angulares para Biot--Savart sobre el anillo) afecta la precisión del campo del anillo.
• L_half y el número de pasos para la integral sobre la recta controlan qué tan lejos se trunca el eje x.

Cómo extenderlo

Algunas direcciones naturales para seguir trabajando:

• Nudos no triviales: sustituir uno de los filamentos por un nudo trébol y verificar que la helicidad escala con el número de auto-enlace.
• Pares enlazados múltiples: dos anillos entrelazados como en los experimentos de Kleckner y Irvine sobre vorticidad anudada.
• Disipación: añadir un término viscoso y estudiar cómo decae la helicidad en función del número de Reynolds.
• Visualización: reemplazar el streamplot por una integración explícita de las líneas de corriente del campo total.

Referencias

• T. Kambe, Variational formulation of ideal fluid flows according to gauge principle, Fluid Dyn. Res. 40, 399 (2008). arXiv:0709.2964 [nlin.CD].
• H. K. Moffatt, The degree of knottedness of tangled vortex lines, J. Fluid Mech. 35, 117 (1969).
• F. P. Bretherton, A note on Hamilton's principle for perfect fluids, J. Fluid Mech. 44, 19 (1970).