Repository navigation
docs(tasks): 5245 asks for a remainder over the exact integer - #324
Closed
the-homeless-god wants to merge 1 commit into
Closed
the-homeless-god wants to merge 1 commit into
the-homeless-god wants to merge 1 commit into
Conversation
The exact integer got plus, minus, times and the five order words in task 1908; the remainder and the division were left as a named refusal. The owner asked the question that makes the gap concrete: a genetic algorithm example needs a random number generator, and every linear congruential generator ends its step with "mod". So the refusal now has a case against it, and the case is written down. WHAT ACTUALLY LIES, named precisely, because the obvious version of this argument is false. Reproduced on the binary of task 1908 against Python's own exact integers: Lehmer, seed 2000000000, multiplier 16807 0 apart glibc, seed 2000000000, mult 1103515245 + 12345 45 apart glibc, seed 1234567891, same mult and increment 40 apart The product ALONE is exact here: 2000000000 * 1103515245 is above 2^53, but it needs only 51 significant bits and a double holds it digit for digit. The INCREMENT is what breaks it - it clears the low zeros and the number then needs more than 53 bits. On the full seed range it is worse: 2147483647 * 1103515245 + 12345 needs 60 significant bits. Hence the corner the author is in: the glibc multiplier pushes the product past 2^53 from seed 8162279 up, and only 0.38 percent of the range modulo 2^31 is still guaranteed exact. Lehmer's 16807 is exact everywhere - the largest product over the whole range, 2147483646 * 16807, is 36092757638322 and below 2^53. So today the choice is Lehmer or silently wrong numbers. THE COST SECTION CORRECTS MY OWN EARLIER CLAIM. I said in the report closing 1908 that division's termination rests on a measure of its own. It does not: lines 608-699 of bignum.flang carry no "decreases" at all. "Bity razryada" counts a non-negative counter down and the two step functions fold over a fixed list of 22 bits. The explicit measure, "Zapas algoritma Evklida", belongs to the GCD at lines 701-780, not to the division. So the cost here is volume - 7 functions and 86 non-empty lines against 1 function and 23 for subtraction with borrow - and not a termination proof. The task says so, and says which of my own words were wrong, so the next reader does not inherit the mix-up. Three words from 1908 are reused rather than rewritten: "Umnozhit razryady na maloe", "Raznost razryadov" and "Menshe razryadov" are exactly what the bit step stands on. One trap is named with them: "Raznost razryadov" below zero returns wrapped digits, not a refusal - the refusal lives one level up in "Tochnoe vychitanie" - so guarding with "Menshe razryadov" before the subtraction is the caller's duty. The number of new functions is NOT measured and says so, because it depends on a question nobody has answered yet: whether a fast path for a one-digit divisor is wanted. Measured, not predicted: run-script tasks:check code 0 (203 tasks, 189 free, 8 in work, 6 done), task-numbers-guard code 0 (203 open, 401 taken by closed ones, 0 duplicates), prose-numbers-guard 224 of 224 marks agree both with this file present and with it removed, so no counted mark moves.
Member
Author
This file contains hidden or bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
Sign up for free
to join this conversation on GitHub.
Already have an account?
Sign in to comment
1 participant
Add this suggestion to a batch that can be applied as a single commit.This suggestion is invalid because no changes were made to the code.Suggestions cannot be applied while the pull request is closed.Suggestions cannot be applied while viewing a subset of changes.Only one suggestion per line can be applied in a batch.Add this suggestion to a batch that can be applied as a single commit.Applying suggestions on deleted lines is not supported.You must change the existing code in this line in order to create a valid suggestion.Outdated suggestions cannot be applied.This suggestion has been applied or marked resolved.Suggestions cannot be applied from pending reviews.Suggestions cannot be applied on multi-line comments.Suggestions cannot be applied while the pull request is queued to merge.Suggestion cannot be applied right now. Please check back later.
Заводит задачу 5245 — остаток и деление над точным целым. Повод пришёл от владельца: генетический алгоритм как пример нуждается в генераторе случайных чисел, а шаг любого линейного конгруэнтного генератора кончается на
остаток от. Над точным целым его нет: задача 1908 определилаплюс,минус,умножить наи пять слов порядка, а деление с остатком оставила названным отказом.Что воспроизведено
Отказы — на двоичном задачи 1908, оба код 1:
Потеря точности в
число— против точных целых Python:числоДве поправки, ради которых стоит прочитать задачу
Очевидная версия довода ложна. Произведение само по себе здесь точно:
2 000 000 000 · 1103515245выше 2⁵³, но значащих бит в нём 51, и double держит его знак в знак. Ломает добавка — она сносит нижние нули. На полном ряду зёрен2147483647 · 1103515245 + 12345требует 60 значащих бит. Отсюда порог: множитель glibc выводит произведение за 2⁵³ при зерне 8 162 279 и выше, гарантированно точен лишь 0,38 % ряда по модулю 2³¹; множитель Лемера 16807 точен всюду (наибольшее произведение2147483646 · 16807= 36 092 757 638 322).Задача исправляет мои же слова. В отчёте, закрывавшем 1908, я написал, что завершение разрядного деления держится на своей мере. Это неверно: в строках 608–699
bignum.flangнет ни одногоубывает—«Биты разряда»убывает по счётчику, а два шаговых слова рекурсии не несут. Явная мера«Запас алгоритма Евклида»относится кНОД(строки 701–780). Цена деления, значит, в объёме (7 функций и 86 непустых строк против 1 функции и 23 у вычитания с займом), а не в доказательстве завершения. Число новых функций в задаче названо не меренным — оно зависит от нерешённого: нужен ли быстрый путь для делителя в один разряд.Чего задача не закрывает
равенине равеннад точным целым сравнения не приводят — так решено в 1908 намеренно. Остаточный путь к неканоническому значению назван в задаче и закрывается сужением втеканиясписок числавточное целое, то есть задачей 1412 (она в полерядом).Проверки
run-script tasks:check— код 0: задач 203, свободно 189, в работе 8, сделано 6task-numbers-guard --plan Check— код 0: открытых 203, занято закрытыми 401, двойных номеров 0prose-numbers-guard --plan Check— 224 из 224 примет сходятся и с этим файлом, и без него, то есть ни одна счётная примета не сдвинулась (проверено прибором, а не арифметикой)Правка только в
docs/tasks/, компилятора не касается, перепечатка семени не нужна.