the-homeless-god · Oct 4, 2026
diff --git a/docs/tasks/5245-remainder-and-division-over-the-exact-integer.md b/docs/tasks/5245-remainder-and-division-over-the-exact-integer.md
@@ -0,0 +1,132 @@
+---
+номер: 5245
+заголовок: Над точным целым нет остатка и деления, а без остатка не пишется конгруэнтный генератор
+статус: свободна
+приоритет: P2
+исполнитель: —
+ветка: —
+команда: первая
+карта: Чего в языке нет вовсе
+рядом: 1412, 1413, 1908
+нужность: без остатка точное целое не закрывает тот самый случай, ради которого заведено — счёт за 2⁵³ с переносом результата обратно в узкий ряд
+---
+
+# 5245. Над точным целым нет остатка и деления
+
+## Шаги воспроизведения
+
+1. Остаток над точным целым:
+
+```flang
+модуль «A remainder over the exact integer is refused»
+
+тотальная функция «Остаток»
+  принимает а: точное целое, б: точное целое
+  возвращает точное целое
+  а остаток от б
+```
+
+2. Деление — та же программа с `а делить на б`.
+3. Команда: `bootstrap/flang check <файл>`.
+
+## Что происходит
+
+```
+$ bootstrap/flang check <остаток>
+FLANG_TYPE … строка 6, столбец 5: над точным целым «mod» не определено:
+точное целое знает «плюс», «минус» и «умножить на»
+<файл>: не проверено — замечаний 1                                код 1
+$ bootstrap/flang check <деление>
+FLANG_TYPE … строка 6, столбец 5: над точным целым «div» не определено:
+точное целое знает «плюс», «минус» и «умножить на»
+<файл>: не проверено — замечаний 1                                код 1
+```
+
+Отказ сознательный, не недосмотр: задача 1908 ввела над точным целым `плюс`,
+`минус`, `умножить на` и пять слов порядка, а деление с остатком оставила
+названным отказом. Довод был в объёме: разрядное деление в
+`flang/stdlib/bignum.flang` — **7 функций и 86 непустых строк** (строки
+608–699) против **1 функции и 23 непустых строк** у вычитания с займом
+(строки 222–245).
+
+## Что должно быть
+
+Остаток и деление над точным целым определены, и слово отказа уходит.
+
+**Случай, который без остатка не пишется — линейный конгруэнтный генератор.**
+Его шаг — `(зерно · множитель + добавка) остаток от модуль`, и без остатка
+последнего действия взять негде. Померено на двоичном задачи 1908 против
+точных целых Python:
+
+| шаг | `число` (flang) | точно | расхождение |
+|---|---|---|---|
+| Лемер, зерно 2 000 000 000, множитель 16807 | 33614000000000 | 33614000000000 | 0 |
+| glibc, зерно 2 000 000 000, множитель 1103515245, добавка 12345 | 2207030490000012300 | 2207030490000012345 | 45 |
+| glibc, зерно 1 234 567 891, тот же множитель и добавка | 1362364488706010600 | 1362364488706010640 | 40 |
+
+Что именно врёт, названо точно, чтобы довод не рассыпался при проверке:
+**произведение само по себе здесь точно** — `2 000 000 000 · 1103515245`
+даёт 2 207 030 490 000 000 000, это выше 2⁵³, но значащих бит в нём 51, и
+double держит его знак в знак. Ломает **добавка**: она сносит нижние нули, и
+числу нужно уже больше 53 бит. На полном ряду зёрен хуже:
+`2147483647 · 1103515245 + 12345` требует **60 значащих бит**.
+
+Отсюда порог, который и загоняет автора в угол: множитель glibc выводит
+произведение за 2⁵³ при зерне **8 162 279** и выше. Дальше точность не
+гарантирована — какое зерно уцелеет, зависит от того, сколько у произведения
+нижних нулей, и полагаться на это нельзя. Ряд, на котором точность
+гарантирована, — **0,38 %** от ряда по модулю 2³¹. Множитель Лемера 16807
+точен всюду: наибольшее произведение по всему ряду, `2147483646 · 16807`,
+равно 36 092 757 638 322 и ниже 2⁵³. Поэтому сегодня у автора генератора
+выбора нет — либо Лемер, либо числа, неверные молча.
+
+## Обходной путь
+
+Множитель, укладывающийся в 2⁵³ вместе с добавкой и модулем, — так и сделано
+в примере генетического алгоритма (`flang/experimental/`): взят Лемер
+`16807 mod 2147483647`. Обход закрывает только этот множитель; `число` остаётся
+IEEE-754, и законы кольца над ним ядро не доказывает.
+
+## Цена, насколько она померена
+
+- **Объём** померен: 7 функций и 86 непустых строк в `bignum.flang`.
+- **Своя мера завершения НЕ нужна**, и это проверено чтением, а не памятью:
+  в строках 608–699 нет ни одного `убывает`. `«Биты разряда»` убывает по
+  счётчику `осталось: неотрицательное`, а `«Бит в деление»` и
+  `«Разряд в деление»` рекурсии не несут вовсе — второе сворачивает список
+  ровно из 22 бит. Явная мера `«Запас алгоритма Евклида»` относится к `НОД`
+  (строки 701–780), а не к делению; не перепутать.
+- **Что уже готово и переиспользуется**: `«Умножить разряды на малое»`,
+  `«Разность разрядов»` и `«Меньше разрядов»` из `flang/self/interpret.flang`
+  задачи 1908 — ровно те три слова, на которых стоит `«Бит в деление»`.
+  Осторожно с одним: `«Разность разрядов»` ниже нуля даёт завёрнутые разряды,
+  а не отказ (отказ живёт выше, в `«Точное вычитание»`), поэтому стеречь
+  `«Меньше разрядов»` перед вычитанием — обязанность вызывающего.
+- **Число новых функций НЕ мерено**: оценку по образцу `bignum.flang` в 7
+  функций брать нельзя, пока не решено, нужен ли быстрый путь для делителя в
+  один разряд.
+
+## Чего эта задача НЕ закрывает
+
+`равен` и `не равен` над точным целым сравнивают структурно и приведения не
+несут — так решено в 1908 намеренно, потому что при вычислении тип неизвестен,
+а `список числа` и `точное целое` — одно значение. Остаётся один путь к
+неканоническому значению: `список числа`, собранный списочными словами,
+поданный в позицию точного целого и сравнённый `равен` до любого действия над
+ним. Закрывается сужением втекания `список числа` в `точное целое` — это
+задача 1412, не эта.
+
+## Когда задача сделана
+
+Программа из шагов воспроизведения проходит `check` с кодом 0. Полный шаг
+генератора на точном целом даёт тот же ответ, что точные целые Python, на всех
+трёх строках таблицы выше, включая `2147483647 · 1103515245 + 12345` с его 60
+значащими битами. Есть проба с числами за 2⁵³ и подделкой, на которой ответ
+обязан измениться. Деление на ноль отвергнуто названным словом.
+
+## Где живёт правка
+
+`flang/self/interpret.flang` (разрядное деление и остаток),
+`flang/self/types.flang` (снять отказ `mod` и `div` над точным целым),
+`flang/proof/probes/exact-integer/**` (пробы). Всё под `flang/self`, до
+двоичного доезжает только перепечаткой семени.